复变函数与积分变换课后的习题答案

题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数
.

①解
②解：
③解：
④解：

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
R);
： ∵设z=x+iy
则 ∴, ．
②解： 设z=x+iy
∵ ∴, ．
③解： ∵

∴, ．
④解： ∵
∴, ．
⑤解： ∵．
∴当时，，；
当时，，．
3.求下列复数的模和共轭复数

①解：．

②解：
③解：．

④解：

4、证明：当且仅当时，z才是实数．
证明：若，设，
则有　，从而有，即y=0
∴z=x为实数．
若z=x，x∈，则．
∴．
命题成立．
5、设z,w∈，证明：
证明∵


∴．
6、设z,w∈，证明下列不等式．



并给出最后一个等式的几何解释．
证明：在上面第五题的证明已经证明了．
下面证．
∵
．从而得证．
∴
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

①解：
其中．
②解：其中．

③解：
④解：.
∴
⑤解：
解：∵．
∴

8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.
⑴i的三次根．
解：

∴．　

⑵-1的三次根
解：

∴



⑶的平方根．
解：
∴
∴
．